Integral substitusi merupakan salah satu teknik pengintegralan dengan cara mensubstitusikan/memasukkan variabel baru yang tepat sehingga diperoleh bentuk fungsi baru yang lebih mudah diselesaikan.
Misalkan 𝑢 = 𝑔(𝑥) dengan 𝑔 adalah fungsi yang memiliki turunan, maka berlaku 𝑑𝑢/𝑑𝑥 =𝑔′(𝑥) sehingga 𝑑𝑢 = 𝑔′ (𝑥)𝑑𝑥 sehingga : ∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 dapat diubah menjadi ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢.
∫
𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑓(𝑢)𝑑𝑢 = ∫F(𝑢) + C = ∫(𝑓(g(x) + C
Pembahasan diatas merupakan dasar dari teknik substitusi untuk penyelesaian integral. Dari teorema tersebut, kita dapat melihat serta menyimpulkan bahwa fungsi yang penyelesaiannya dengan substitusi terdiri dari perkalian sebuah fungsi dengan turunannya.
Langkah-langkah penyelesaiannya :
- Memisahkan fungsi yang kalau diturunkan menjadi fungsi lainnya, misalkan menjadi fungsi 𝑢
- Menurunkan fungsi 𝑢 terhadap 𝑥 menggunakan notasi leibniz 𝑑𝑢/𝑑𝑥
- Menyatakan notasi leibniz diatas menjadi bentuk 𝑑𝑥 = ⋯ 𝑑𝑢
- Substitusikan pemisalan tadi ke integral semula.
Contoh :
Tentukan nilai integral berikut : ∫ 4𝑥³ (𝑥⁴ − 1)⁴ 𝑑𝑥
Perhatikan integral diatas, integran dari integral diatas terdiri dari dua fungsi yaitu 𝑦 = 4𝑥³ dan 𝑦 = 𝑥⁴ − 1, salah satu dari fungsi tersebut yaitu 𝑦 = 4𝑥³ merupakan turunan dari fungsi 𝑦 = 𝑥⁴ − 1, atau dapat ditulis 𝑑(𝑥⁴−1)/𝑑𝑥 = 4𝑥³
Sehingga dapat kita selesaikan seperti berikut.
- 𝑢 = 𝑥⁴ − 1
- 𝑑𝑢/𝑑𝑥 = 4𝑥³ maka 𝑑𝑢 = 4𝑥³. 𝑑𝑥
- 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢/4𝑥³
Komentar
Posting Komentar